Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1-a_n=3×2^2n-1，數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₂a_n
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記數(shù)列{

1

bnbn+1

}的前n項(xiàng)和為T_n，若t≥T_n對(duì)任意的n∈N₊恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由已知的數(shù)列遞推式直接利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）把數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入b_n=log₂a_n，然后利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列{

1

bnbn+1

}的前n項(xiàng)和為T_n，由單調(diào)性求得

n

2n+1

＜

n

2n

=

1

2

，則t≥T_n對(duì)任意的n∈N₊恒成立的t的取值范圍可求．

解答： 解：（1）由已知，當(dāng)n≥1時(shí)
a_n+1=[（a_n+1-a_n）+（a_n-a_n-1）+…+（a₂-a₁）]+a₁+a₁
=3（2^2n-1+2^2n-3+…+2）+2=3×

2(1-4n)

1-4

+2=2^2（n+1）-1．
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2^2n-1；
（2）b_n=log₂a_n=log222n-1=2n-1．

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

[

1

2n-1

-

1

2n+1

]，
∴Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．
∵函數(shù)y=

x

2x+1

在（0，+∞）上為增函數(shù)，
且

n

2n+1

＜

n

2n

=

1

2

．
∴若t≥T_n對(duì)任意的n∈N₊恒成立，
則t≥

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，是中檔題．