Question

已知定義域為R的函數(shù)f（x）=1-

2

3x+1

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅱ）證明：函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（Ⅲ）判斷函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題（Ⅰ）通過已知指數(shù)函數(shù)的值域求出函數(shù)f（x）的值域；（Ⅱ）通過函數(shù)奇偶性的定義證明函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；（Ⅲ）利用函數(shù)單調(diào)性的定義和已知指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，證明函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)遞增，得到標(biāo)題結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵3^x+1∈（1，+∞），
∴

2

3x+1

∈(0，2)．
∴f（x）的值域為（-1，1）．
（Ⅱ）證明：函數(shù)f（x）的定義域為R，圖象關(guān)于原點對稱，
∵f(-x)=1-

2

3-x+1

=1-

2•3x

1+3x

=1-

2(3x+1)-2

1+3x

=-1+

2

3x+1

=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)．
（Ⅲ）f（x）是R上的增函數(shù)．
證明如下：任取x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

2

3x2+1

-

2

3x1+1

=

2(3x1-3x2)

(3x1+1)(3x2+1)

．
∵y=3^x在R上是增函數(shù)，且x₁＜x₂，
∴3x1＜3x2，即3x1-3x2＜0，
又∵（3 x1+1）（3 x2+1）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）是R上的增函數(shù)．

點評：本題考查了函數(shù)的值域、奇偶性、單調(diào)性，本題有一定的思維難度，運算量適中，屬于中檔題．