Question

20．如圖，已知△ABC和△EBC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面EBC⊥平 面ABC，AD⊥平面ABC，且$AD=2\sqrt{3}$．
（Ι）證明：AD∥平面EBC；
（II）求三棱錐E-ABD的體積．

Answer 1

分析 （Ι）取BC的中點(diǎn)為F，連接AF，EF，推導(dǎo)出EF⊥BC，從而EF⊥平面ABC，進(jìn)而AD∥EF，由此能證明AD∥平面EBC．
（II）由V_E-ABD=V_F-ABD=V_D-ABF，能求出三棱錐E-ABD的體積．

解答 證明：（Ι）取BC的中點(diǎn)為F，連接AF，EF，…（1分）
∵△BCE為正三角形，
∴EF⊥BC，…（2分）
∵平面ABC⊥平面BCE，且交線為BC，
∴EF⊥平面ABC，…（4分）
又∵AD⊥平面ABC，
∴AD∥EF，…（5分）
∵EF?平面EBC，DA?平面EBC
∴AD∥平面EBC．…（6分）
解：（II）由（Ⅰ）知EF∥AD，
∴V_E-ABD=V_F-ABD=V_D-ABF，…（10分）
∴${S_{△ABF}}=\frac{1}{2}BF•AF=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴${V_{D-ABF}}=\frac{1}{3}{S_{△ABF}}•AD=1$，
即三棱錐E-ABD的體積V_E-ABD=1．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．