Question

4．已知數(shù)列{a_n}，a₁=2，a_n+1=（$\sqrt{2}$-1）（a_n+2）（n∈N^*），求{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 由a_n+1=（$\sqrt{2}$-1）（a_n+2）可得a_n+1-$\sqrt{2}$=（$\sqrt{2}$-1）（a_n-$\sqrt{2}$），從而可得{a_n-$\sqrt{2}$}是以2-$\sqrt{2}$為首項，$\sqrt{2}$-1為公比的等比數(shù)列，從而解得．

解答 解：∵a_n+1=（$\sqrt{2}$-1）（a_n+2），
∴a_n+1-$\sqrt{2}$=（$\sqrt{2}$-1）（a_n-$\sqrt{2}$），
又∵a₁-$\sqrt{2}$=2-$\sqrt{2}$，
∴{a_n-$\sqrt{2}$}是以2-$\sqrt{2}$為首項，$\sqrt{2}$-1為公比的等比數(shù)列；
∴a_n-$\sqrt{2}$=（2-$\sqrt{2}$）•（$\sqrt{2}$-1）^n-1=$\sqrt{2}$•（$\sqrt{2}$-1）ⁿ．

點評 本題考查了數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時考查了整體思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．