Question

12．有7名隊(duì)員參加兩場(chǎng)比賽，每場(chǎng)90分鐘，前4名每人上場(chǎng)總時(shí)間都能被7整除，后3名每人上場(chǎng)總時(shí)間都能被13整除，每場(chǎng)換人次數(shù)不限，且在比賽的任何時(shí)刻，場(chǎng)上有且只有一名運(yùn)動(dòng)員，按每人上場(chǎng)總時(shí)間算，有多少種情況？

Answer 1

分析 設(shè)各人上場(chǎng)時(shí)間分別為7t₁，7t₂，7t₃，7t₄，13t₅，13t₆，13t₇，（t_i為正整數(shù)）得方程 7（t₁+t₂+t₃+t₄）+13（t₅+t₆+t₇）=90×3．令t₁+t₂+t₃+t₄=x，t₅+t₆+t₇=y，得方程7x+13y=270．即求此方程滿足4≤x≤38，3≤y≤20的整數(shù)解，再根據(jù)分類和分步計(jì)數(shù)原理可得答案．

解答 解：設(shè)各人上場(chǎng)時(shí)間分別為7t₁，7t₂，7t₃，7t₄，13t₅，13t₆，13t₇，（t_i為正整數(shù)）．
得方程 7（t₁+t₂+t₃+t₄）+13（t₅+t₆+t₇）=90×3．
令t₁+t₂+t₃+t₄=x，t₅+t₆+t₇=y，得方程7x+13y=270．即求此方程滿足4≤x≤38，3≤y≤20的整數(shù)解．
即6y≡4（mod 7），3y≡2（mod 7），y≡3（mod 7）
∴y=3，10，17，相應(yīng)的x=33，20，7．
t₅+t₆+t₇=3的解只有1種，t₅+t₆+t₇=10的解有C₉²種，t₅+t₆+t₇=17的解有C₁₆²種；
t₁+t₂+t₃+t₄=33的解有C₃₂³種，t₁+t₂+t₃+t₄=20的解有C₁₉³種，
t₁+t₂+t₃+t₄=7的解有C₆³種．
∴共有1×C₃₂³+C₆³×C₁₆²×+C₁₉³×C₉²=42244種．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分步分類計(jì)數(shù)原理，本題轉(zhuǎn)化為方程7x+13y=270．即求此方程滿足4≤x≤38，3≤y≤20的整數(shù)解是關(guān)鍵，屬于難題．