Question

4．焦點(diǎn)在x軸上，對(duì)稱(chēng)軸為兩坐標(biāo)軸的橢圓短軸長(zhǎng)為4，該橢圓截直線(xiàn)x+2y=4所得的弦長(zhǎng)為2$\sqrt{5}$，求橢圓的方程．

Answer 1

分析 設(shè)出橢圓方程，直線(xiàn)x+2y=4與橢圓方程聯(lián)立，利用橢圓截直線(xiàn)x+2y=4所得的弦長(zhǎng)為2$\sqrt{5}$，求出a，即可求橢圓的方程．

解答 解：由題意，設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
直線(xiàn)x+2y=4與橢圓方程聯(lián)立可得（16+a²）y²-64y+64-4a²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁+y₂=$\frac{64}{16+{a}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{64-4{a}^{2}}{16+{a}^{2}}$，
∴橢圓截直線(xiàn)x+2y=4所得的弦長(zhǎng)|AB|=$\sqrt{1+4}$•$\sqrt{（\frac{64}{16+{a}^{2}}）^{2}-4×\frac{64-4{a}^{2}}{16+{a}^{2}}}$=2$\sqrt{5}$，
∴a=4，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程，考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．