Question

為了分析某次考試數(shù)學(xué)成績(jī)情況，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從某班中抽取25名學(xué)生的成績(jī)（百分制）作為樣本，得到頻率分布表如下：

分?jǐn)?shù)	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100]
頻數(shù)	2	3	9	a	1
頻率	0.08	0.12	0.36	b	0.04

（Ⅰ）求樣本頻率分布表中a，b的值，并根據(jù)上述頻率分布表，在下表中作出樣本頻率分布直方圖；
（Ⅱ）計(jì)算這25名學(xué)生的平均數(shù)及方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；
（Ⅲ）從成績(jī)?cè)赱50，70）的學(xué)生中任選2人，求至少有1人的成績(jī)?cè)赱60，70）中的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：頻率分布直方圖,極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由頻數(shù)總數(shù)求出a的值，概率頻率=

頻數(shù)

樣本容量

求出b的值，再畫出頻率分布直方圖；
（Ⅱ）根據(jù)平均數(shù)與方差的計(jì)算公式求出平均數(shù)與方差；
（Ⅲ）求出成績(jī)?cè)赱50，60）和[60，70）的學(xué)生數(shù)，
用列舉法求出成績(jī)?cè)赱50，70）的學(xué)生任選2人的方法有多少種以及至少有1人的成績(jī)?cè)赱60，70）中的方法數(shù)，計(jì)算概率即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵頻數(shù)總數(shù)是2+3+9+a+1=25，
∴a=10；
又∵成績(jī)?cè)赱80，90）的頻率是

10

25

=0.4，
∴b=0.4；
畫出頻率分布直方圖如下：
；…（5分）
（Ⅱ）這25名學(xué)生的平均數(shù)為

.

x

=55×0.08+65×0.12+75×0.36+85×0.4+95×0.04=77；
方差為s2=

1

25

[(55-77)2×2+(65-77)2×3+(75-77)2×9+（85-77）²×10+（95-77）²×1]
=

1

25

[(-22)2×2+(-12)2×3+(-2)2×9+82×10+182×1]=96；
或s²=（-22）²×0.08+（-12）²×0.12+（-2）²×0.36+8×0.4+18×0.04=96；…（9分）
（Ⅲ）成績(jī)?cè)赱50，60）的學(xué)生共有2人，記為a，b，在[60，70）共有3人，記為c，d，e；
從成績(jī)?cè)赱50，70）的5名學(xué)生任選2人的方法有ab、ac、ad、ae、bc、bd、be、cd、ce、de，
共10種，其中至少有1人的成績(jī)?cè)赱60，70）中方法有ac、ad、ae、bc、bd、be、cd、ce、de，共9種，
∴所求的概率為p=

9

10

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算，是基礎(chǔ)題．