Question

3．在極坐標系內，已知曲線C₁的方程為ρ=2cosθ，以極點為原點，極軸方向為x正半軸方向，利用相同單位長度建立平面直角坐標系，曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=4t-1\\ y=3t+1\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．設點P為曲線C₂上的動點，過點P作曲線C₁的兩條切線，則這兩條切線所成角的最大值是60°．

Answer 1

分析 曲線C₁的方程為ρ=2cosθ，化為ρ²=2ρcosθ，可得直角坐標方程：x²+y²=2x，圓心Q（1，0）．以曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=4t-1\\ y=3t+1\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)可得普通方程．設切點為A，B，要使∠APB最大，則∠APQ取最大值，而$sin∠CPB=\frac{AQ}{PQ}=\frac{1}{PQ}$，當PQ取最小值時即點Q到直線的距離為垂直距離時，∠APB取最大值．

解答 解：曲線C₁的方程為ρ=2cosθ，化為ρ²=2ρcosθ，可得直角坐標方程：x²+y²=2x，圓心Q（1，0）．
以曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=4t-1\\ y=3t+1\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)化為：3x-4y+7=0．
設切點為A，B，要使∠APB最大，則∠APQ取最大值，
而$sin∠CPB=\frac{AQ}{PQ}=\frac{1}{PQ}$，
∴當PQ取最小值d=$\frac{|3-0+7|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=2時，∠APB取最大值60°．
故答案為：60°．

點評 本題考查了極坐標方程和直角坐標方程、參數(shù)方程化為普通方程、點到直線的距離公式公式、圓的切線性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．