Question

12．已知數(shù)列，A_n：a₁，a₂，…，a_n（n≥2，n∈N^*）是正整數(shù)1，2，3，…，n的一個(gè)全排列．若對(duì)每個(gè)k∈{2，3，…，n}都有|a_k-a_k-1|=2或3，則稱A_n為H數(shù)列．
（Ⅰ）寫出滿足a₅=5的所有H數(shù)列A₅；
（Ⅱ）寫出一個(gè)滿足a_5k（k=1，2，…，403）的H數(shù)列A₂₀₁₅的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）在H數(shù)列A₂₀₁₅中，記b_k=a_5k（k=1，2，…，403）．若數(shù)列{b_k}是公差為d的等差數(shù)列，求證：d=5或-5．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知條件直接寫出數(shù)列即可．
（Ⅱ）數(shù)列A₅，推出a₅=5，把數(shù)列各項(xiàng)分別加5后，所得各數(shù)依次排在后，利用|a₆-a₅|=2，得到a₁₀=10．推出a_5K=5k，（k=1，2，…，403）的H數(shù)列A₂₀₁₅即可．
（Ⅲ）利用已知條件推出d=2x+3y，x，y∈Z，且|x|+|y|=5．轉(zhuǎn)化為（|x|，|y|）=（0，5），（1，4），（2，3），（4，1），（5，0）．分別討論推出結(jié)果即可．

解答 （本小題共13分）
解：（Ⅰ）滿足條件的數(shù)列有兩個(gè)：3，1，4，2，5；2，4，1，3，5．
（Ⅱ）由（1）知數(shù)列A₅：2，4，1，3，5滿足a₅=5，把各項(xiàng)分別加5后，所得各數(shù)依次排在后，因?yàn)閨a₆-a₅|=2，所得數(shù)列A₁₀顯然滿足|a_k-a_k-1|=2或3，k∈{2，3，4，…，10}，即得H數(shù)列A₁₀：2，4，1，3，5，7，9，6，8，10．其中a₅=5，a₁₀=10．如此下去即可得到一個(gè)滿足a_5K=5K（k=1，2，…，403）的H數(shù)列A₂₀₁₅為：
a_n=$\left\{\begin{array}{l}n+1，n=5k-4\\ n+2，n=5k-3\\ n-2，n=5k-2\\ n-1，n=5k-1\\ n，n=5k\end{array}\right.$（其中k=1，2，…，403）
（Ⅲ）由題意知d=2x+3y，x，y∈Z，且|x|+|y|=5．
|x|+|y|=5有解：（|x|，|y|）=（0，5），（1，4），（2，3），（4，1），（5，0）．
①（|x|，|y|）=（0，5），y=±5，d=±15，則b₄₀₃=b₁+402d=b₁±6030，這與1≤b₁，b₄₀₃≤2015 是矛盾的．
②（|x|，|y|）=（5，0）時(shí)，與①類似可得不成立．
③（|x|，|y|）=（1，4）時(shí)，|d|≥3×4-2=1，則b₄₀₃=b₁+402d不可能成立．
④（|x|，|y|）=（4，1）時(shí)，
若（|x|，|y|）=（4，-1）或（-4，1），則d=5或-5．
若（|x|，|y|）=（4，1）或（-4，-1），則|d|=11，類似于③可知不成立．
④（|x|，|y|）=（2，3）時(shí)，
若x，y同號(hào)，則d|=13，由上面的討論可知不可能；
若（x，y）=（2，-3）或（x，y）=（-2，3），則d=-5或5；
⑤（|x|，|y|）=（3，2）時(shí)，
若x，y異號(hào)，則d=0，不行；
若x，y同號(hào)，則|d|=12，同樣由前面的討論可知與1≤b₁，b₄₀₃≤2015 矛盾．
綜上，d只能為5或-5，且（2）中的數(shù)列是d=5的情形，將（2）中的數(shù)列倒過(guò)來(lái)就是d=-5，所以d為5或-5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查分類討論思想的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．