【題目】已知恒等式(1+x+x2n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n
(1)求a1+a2+a3+…+a2n和a2+2a3+22a4+…+22n2a2n的值;
(2)當(dāng)n≥6時(shí),求證: a2+2A a3+…+22n2 a2n<49n2

【答案】
(1)解:令x=0,則a0=1.

令x=1,則a0+a1+a2+…+a2n=3n,∴a1+a2+…+a2n=3n﹣1.

∵(1+x+x2n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n

∴兩邊對x求導(dǎo)可得:n(1+x+x2n1=a1+2a2x+…+2na2nx2n1

令x=0,則n=a1

由(1+x+x2n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n

令x=2,則 ×7n= + +a2+2a3+…+22n2a2n

∴a2+2a3+…+22n2a2n=


(2)證明:∵(1+x+x2n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n

∴兩邊對x求導(dǎo)可得:n(1+x+x2n1(1+2x)=a1+2a2x+…+2na2nx2n1,

再一次求導(dǎo)可得:n[(n﹣1)(1+2x)2+2](1+x+x2n2=2a2+3×2a3x+…+2n(2n﹣1)a2nx2n2,

=k(k﹣1),

令x=2可得: a2+2A a3+…+22n2 a2n=n[25(n﹣1)+2]×7n2,

n≥6時(shí),n[25(n﹣1)+2]<7n2,

a2+2A a3+…+22n2 a2n=n[25(n﹣1)+2]×7n2<49n2


【解析】(1)令x=0,則a0=1.令x=1,a0+a1+a2+…+a2n=3n , 可得a1+a2+…+a2n . 由(1+x+x2n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n . 兩邊對x求導(dǎo)可得:n(1+x+x2n1=a1+2a2x+…+2na2nx2n1 . 令x=0,可得n=a1 , 由(1+x+x2n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n . 令x=2,可得 ×7n= + +a2+2a3+…+22n2a2n . 即可得出.(2)(1+x+x2n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n . 由(1)可得:n(1+x+x2n1(1+2x)=a1+2a2x+…+2na2nx2n1 , 兩邊對x求導(dǎo)可得:n[(n﹣1)(1+2x)2+2](1+x+x2n2=2a2+3×2a3x+…+2n(2n﹣1)a2nx2n2 , 令x=2可得: a2+2A a3+…+22n2 a2n=n[25(n﹣1)+2]×7n2 , n≥6時(shí),n[25(n﹣1)+2]<7n2 , 即可證明.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)= ,定義域?yàn)閇0,2π],g(x) 為f(x) 的導(dǎo)函數(shù).
(1)求方程g(x)=0 的解集;
(2)求函數(shù)g(x) 的最大值與最小值;
(3)若函數(shù)F(x)=f(x)﹣ax 在定義域上恰有2個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a 的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知p:m∈R,且m+1≤0,q:x∈R,x2+mx+1>0恒成立,若p∧q為假命題且p∨q為真命題,則m的取值范圍是__________________

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a、b、c,已知向量 =(cosA,cosB), =(a,2c﹣b),且
(1)求角A的大。
(2)若a=4,求△ABC面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】給出下列五個(gè)命題:

①將A,B,C三種個(gè)體按3∶1∶2的比例分層抽樣調(diào)查,若抽取的A種個(gè)體有9個(gè),則樣本容量為30;

②一組數(shù)據(jù)1,2,3,3,4,5的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)都相同;

③甲組數(shù)據(jù)的方差為5,乙組數(shù)據(jù)為5,6,9,10,5,那么這兩組數(shù)據(jù)中比較穩(wěn)定的是甲;

④已知具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量滿足的回歸直線方程為=1-2x,則x每增加1個(gè)單位,y平均減少2個(gè)單位;

⑤統(tǒng)計(jì)的10個(gè)樣本數(shù)據(jù)為125,120,122,105,130,114,116,95,120,134,則樣本數(shù)據(jù)落在[114.5,124.5)內(nèi)的頻率為0.4.

其中是真命題的為(  )

A. ①②④ B. ②④⑤ C. ②③④ D. ③④⑤

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某高校共有學(xué)生15 000人,其中男生10 500人,女生4500人.為調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動時(shí)間的情況,采用分層抽樣的方法,收集300位學(xué)生每周平均體育運(yùn)動時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)(單位:小時(shí)).

(1)應(yīng)收集多少位女生的樣本數(shù)據(jù)?

(2)根據(jù)這300個(gè)樣本數(shù)據(jù),得到學(xué)生每周平均體育運(yùn)動時(shí)間的頻率分布直方圖(如圖所示),其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為:[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].估計(jì)該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動時(shí)間超過4小時(shí)的概率.

(3)在樣本數(shù)據(jù)中,有60位女生的每周平均體育運(yùn)動時(shí)間超過4小時(shí),請完成每周平均體育運(yùn)動時(shí)間與性別列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動時(shí)間與性別有關(guān)”.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)復(fù)數(shù)

(1)若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限,求m的取值范圍;

(2)若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在直線xy-1=0上,求m的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=alnx+ax2+bx,(a,b∈R).
(1)設(shè)a=1,f(x)在x=1處的切線過點(diǎn)(2,6),求b的值;
(2)設(shè)b=a2+2,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,4]上的最大值;
(3)定義:一般的,設(shè)函數(shù)g(x)的定義域?yàn)镈,若存在x0∈D,使g(x0)=x0成立,則稱x0為函數(shù)g(x)的不動點(diǎn).設(shè)a>0,試問當(dāng)函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的不動點(diǎn)時(shí),這兩個(gè)不動點(diǎn)能否同時(shí)也是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】若函數(shù)為定義域上單調(diào)函數(shù),且存在區(qū)間(其中),使得當(dāng)時(shí),的取值范圍恰為,則稱函數(shù)上的正函數(shù),區(qū)間叫做等域區(qū)間

(1)已知上的正函數(shù),求的等域區(qū)間;

(2)試探究是否存在實(shí)數(shù),使得函數(shù)上的正函數(shù)?若存在,請求出實(shí)數(shù)的取值范圍;若不存在,請說明理由

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