Question

【題目】已知函數(shù)

（1）求曲線在點處的切線方程;

（2）令，討論的單調性并判斷有無極值，若有，求出極值.

Answer 1

【答案】（1）y=1（2）見解析

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導數(shù)，分別求出， ，即可求出曲線在點處的切線方程；（2）表示出的表達式，求出的導數(shù)，構造，可證時， ； 時， ，再對分類討論，根據(jù)導數(shù)，求出單調區(qū)間，并可判斷有無極值，從而求出極值.

試題解析：（1）

∴ 則切線方程為

（2）依題意得

∴

令，則

∴函數(shù)在R上單調遞增．

∵

∴時， ； 時，

當時， ，則時， ，函數(shù)在（0，+∞）單調遞增； 時， ，函數(shù)在（﹣∞，0）單調遞減．

∴時，函數(shù)取得極小值， ，無極大值

當時，令，則，

①時， 時， ， ，函數(shù)單調遞增；

時， ， ，函數(shù)單調遞減；

時， ， ，函數(shù)單調遞增

∴當時，函數(shù)取得極小值， ．當時，函數(shù)取得極大值，

②時， ， 時，

∴函數(shù)在上單調遞增，無極值

③時， ， 時， ， ，函數(shù)單調遞增；

時， ， ，函數(shù)單調遞減；

時， ， ，函數(shù)單調遞增．

∴當時，函數(shù)取得極大值， ，當時，函數(shù)取得極小值,

綜上所述：當時，函數(shù)在（0，+∞）單調遞增，在（﹣∞，0）單調遞減， 極小值為﹣1﹣2a，無極大值；

當時，函數(shù)在，（0，+∞）上單調遞增，在上單調遞減， 極小值為，極大值為

當時，函數(shù)在上單調遞增，無極值

當時，函數(shù)在（﹣∞，0），上單調遞增，在上單調遞減， 極大值為．極小值為．