Question

11．如圖，四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別是PA，PD邊上的中點，且PD=AB=2．
（1）求EF∥平面PBC；
（2）求四棱錐P-ABCD的表面積．

Answer 1

分析 （1）利用中位線定理和平行公理即可得出EF∥BC，從而EF∥平面PBC；
（2）證明BC⊥平面PCD，AB⊥平面PAD，故而AB⊥PA，BC⊥PC，于是四個側(cè)面全為直角三角形，從而可求得表面積．

解答 證明：（1）∵E，F(xiàn)分別是PA，PD邊上的中點，
∴EF∥AD，又AD∥BC，
∴EF∥BC，又EF?面PBC，BC?面PBC，
∴EF∥平面PBC．
（2）∵PD⊥底面ABCD，AD?平面ABCD，CD?平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PD⊥AD，PD⊥CD，PD⊥BC，
又BC⊥CD，CD∩PD=D，
∴BC⊥平面PCD，∵PC?平面PCD，
∴BC⊥PC，同理可得AB⊥PA．
∴棱錐的四個側(cè)面均為直角三角形，
∵PD=AB=2，底面ABCD是正方形，
∴PA=PC=2$\sqrt{2}$，
∴S_△PAD=S_△PCD=$\frac{1}{2}×2×2$=2，S_底面ABCD=2²=4，
S_△PAB=S_△PBC=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$．
∴四棱錐P-ABCD的表面積S=2S_△PDA+2S_△PAB+S_{正方形ABCD}=8+4$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了線面平行的判定，線面垂直的判定，棱錐表面積的計算，屬于中檔題．