Question

已知過(guò)拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）兩個(gè)不同的點(diǎn)，直線OM、ON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）分別與準(zhǔn)線l相交于P、Q兩點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是

 

（請(qǐng)?zhí)钌险�確結(jié)論的序號(hào)）．
①PN∥QM；
②∠PFQ＞

π

2

；
③|MF|=|MQ|
④|MN|＜|MQ|+|NP|；
⑤以線段MF為直徑的圓必與y軸相切．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：閱讀型,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)直線MN：y=k（x-

p

2

），聯(lián)立拋物線方程，消去x，運(yùn)用韋達(dá)定理，再根據(jù)三點(diǎn)共線知識(shí)，求出P，Q坐標(biāo)，即可判斷①；通過(guò)P，Q，F(xiàn)的坐標(biāo)，運(yùn)用斜率公式，結(jié)合上面的結(jié)論，即可判斷PF，QF的位置關(guān)系，即可判斷②；
由拋物線的定義，即可判斷③，④；設(shè)線段MF的中點(diǎn)為A，求出A的坐標(biāo)，A到y(tǒng)軸的距離，和線段MF的長(zhǎng)，再由直線和圓的位置關(guān)系的判斷方法，即可得到，進(jìn)而判斷⑤．

解答： 解：拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F（

p

2

，0），準(zhǔn)線為：x=-

p

2

，
對(duì)于①，設(shè)直線MN：y=k（x-

p

2

），
聯(lián)立拋物線方程，消去x，得，ky²-2py-p²k=0，
則有y₁+y₂=

2p

k

，y₁y₂=-p²，
由于x₁=

y12

2p

，x₂=

y22

2p

，
由三點(diǎn)P，O，M共線，可得，

yQ

- p 2

=

y1

x1

=

2p

y1

，
y_P=

-p2

y1

=y₂，則PN∥x軸，同理三點(diǎn)Q，O，N共線，可得y_Q=y₁，
則MQ∥x軸，故MQ∥NP，故①對(duì)；
對(duì)于②，由于Q（-

p

2

，y₁），P（-

p

2

，y₂），F(xiàn)（

p

2

，0），k_PF•k_QF=

y2

-p

•

y1

-p

=

y1y2

p2

=-1，
則PF⊥QF，故②錯(cuò)；
對(duì)于③，由拋物線的定義，可得|MF|=|MQ|，故③對(duì)；
對(duì)于④，由拋物線的定義，可得，|MN|=|MF|+|NF|=|MQ|+|NP|，故④錯(cuò)；
對(duì)于⑤，設(shè)線段MF的中點(diǎn)為A，則A（

p

4

+

x1

2

，

y1

2

），到y(tǒng)軸的距離為d=

p

4

+

x1

2

．
|MF|=x₁+

p

2

，則有d=

|MF|

2

，故⑤對(duì)．
故答案為：①③⑤

點(diǎn)評(píng)：本題以拋物線為載體，考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，考查直線方程和斜率公式的運(yùn)用，以及兩直線的位置關(guān)系，同時(shí)考查直線和圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．