Question

13．已知F為拋物線(xiàn)C：y²=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)E在點(diǎn)C的準(zhǔn)線(xiàn)上，且在x軸上方，線(xiàn)段EF的垂直平分線(xiàn)于C的準(zhǔn)線(xiàn)交于點(diǎn)Q（-1，$\frac{3}{2}$），與C交于點(diǎn)P，則△PEF的面積為（　�。�

• A． 5
• B． 10
• C． 15
• D． 20

Answer 1

分析 由拋物線(xiàn)方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出E的坐標(biāo)（-1，m），利用EF和QP垂直求得m的值，則EF、QP的方程可求，求出EF的長(zhǎng)度，求出P的坐標(biāo)，由三角形的面積公式求得△PEF的面積．

解答 解：如圖，
由拋物線(xiàn)方程為y²=4x，得F（1，0），設(shè)E（-1，m）（m＞0），
則EF中點(diǎn)為G（0，$\frac{m}{2}$），${k}_{EF}=-\frac{m}{2}$，又Q（-1，$\frac{3}{2}$），
∴${k}_{QG}=\frac{\frac{3}{2}-\frac{m}{2}}{-1-0}=\frac{m-3}{2}$，則$-\frac{m}{2}•\frac{m-3}{2}=-1$，解得：m=4．
∴E（-1，4），
則|EF|=$\sqrt{（-1-1）^{2}+（4-0）^{2}}=2\sqrt{5}$，
直線(xiàn)EF的方程為$\frac{y-0}{4-0}=\frac{x-1}{-1-1}$，化為一般式得：2x+y-2=0．
QG所在直線(xiàn)方程為y-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}（x+1）$，即x-2y+4=0．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+4=0}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4}\end{array}\right.$，即P（4，4），
∴P到直線(xiàn)EF的距離為d=$\frac{|2×4+4-2|}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$．
則△PEF的面積為$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×2\sqrt{5}=10$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了拋物線(xiàn)的應(yīng)用，平面解析式的基礎(chǔ)知識(shí)．考查了考生的基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用和知識(shí)遷移的能力，是中檔題．