Question

2．已知：α∥β，點P是平面α，β外一點，從點P引三條不共面的射線PA，PB，PC，與平面α分別相交于點A，B，C，與平面β分別相交于A′，B′，C′，求證：△ABC∽△A′B′C′．

Answer 1

分析 由α∥β，得AB∥A'B'，BC∥B'C'，AC∥A'C'，由此利用平行分線段成比例定理能證明$\frac{AB}{{A}^{'}{B}^{'}}=\frac{AC}{{A}^{'}{C}^{'}}=\frac{BC}{{B}^{'}{C}^{'}}$，由此能證明△ABC∽△A′B′C′．

解答 證明：由題意可知P、A、B、A'、B'在同一平面內(nèi)，
∵α∥β，∴AB∥A'B'，
∴$\frac{PA}{P{A}^{'}}$=$\frac{AB}{{A}^{'}{B}^{'}}$=$\frac{PB}{P{B}^{'}}$，
由題意可知P、B、C、B'、C'在同一平面內(nèi)，
∵α∥β，∴BC∥B'C'，
∴$\frac{PB}{P{B}^{'}}=\frac{BC}{{B}^{'}{C}^{'}}$
∴由題意可知P、A、C、A'、C'在同一平面內(nèi)，
∵α∥β，∴AC∥A'C'，
∴$\frac{PA}{P{A}^{'}}$=$\frac{AC}{{A}^{'}{C}^{'}}$
∴$\frac{AB}{{A}^{'}{B}^{'}}=\frac{AC}{{A}^{'}{C}^{'}}=\frac{BC}{{B}^{'}{C}^{'}}$，
∴△ABC∽△A′B′C′．

點評 本題考查兩個三角形相似的證明，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意平行分線段成比例定理的合理運用．