Question

13．已知一條直線l和它上方的一個點F，點F到l的距離是2．一條曲線也在l的上方，它上面的每一點到F的距離的差都是2，建立適當?shù)淖鴺讼�，求這條曲線的方程．（用兩種方法）
方法一：以直線l所在直線為x軸，過F與l垂直的直線為y軸
方法二：以過F與l垂直的直線為y軸，過F與y軸垂直的直線為x軸．

Answer 1

分析 建立坐標系，取曲線上任意一點（x，y）（y＞0），利用曲線上的每一點到l的距離與這點到點F（0，2）的距離的差是2，可得方程，化簡可得曲線的方程．

解答 解：（1）以直線l所在直線為x軸，過F與l垂直的直線為y軸，則F（0，2）
取曲線上任意一點M（x，y）（y＞0）
∵曲線上的每一點到x軸的距離與這點到點F（0，2）的距離的差是2，
∴$\sqrt{{x}^{2}+（y-2）^{2}}$-y=2
∴x²=8y（y＞0）．
（2）以過F與l垂直的直線為y軸，過F與y軸垂直的直線為x軸，則F（0，0）
，l：y=-2，
取曲線上任意一點M（x，y）
∵曲線上的每一點到y(tǒng)=-2的距離減去這點到點F（0，0）的距離的差是2，
∴$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=y+4
∴x²=8（y+2）．

點評 求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一，求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系，本題利用直接法求解，直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標化，列出等式化簡即得動點軌跡方程．