Question

2．以橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$的左焦點(diǎn)F₁為圓心，過此橢圓右頂點(diǎn)A的圓截直線3x+4y-21=0所得的弦長為$4\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 求出橢圓的左焦點(diǎn)，求出圓的半徑，利用圓的圓心到直線的距離與圓的半徑與半弦長的關(guān)系，求解直線被圓截直線3x+4y-21=0所得的弦長．

解答 解：橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$，可得a=5，b=4，c=3，橢圓的左焦點(diǎn)F₁為（-3，0），
圓的半徑為：a+c=8，
圓的圓心（-3，0）到直線3x+4y-21=0的距離d=$\frac{|-9-21|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=6，
圓的圓心到直線的距離與圓的半徑與半弦長滿足勾股定理，
可得弦長為：2$\sqrt{{8}^{2}-{6}^{2}}$=$4\sqrt{7}$．
故答案為：$4\sqrt{7}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．