Question

1．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面四邊形ABCD是正方形，側(cè)面PDC是邊長(zhǎng)為a的正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E為PC的中點(diǎn)．
（1）求異面直線PA與DE所成的角的余弦值；
（2）求點(diǎn)D到面PAB的距離．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AC，BD交于點(diǎn)O，連結(jié)EO．由四邊形ABCD為正方形，且AO=CO，PE=EC，可得PA∥EO，從而得到∠DEO為異面直線PA與DE所成的角，然后通過求解直角三角形求解；
（2）取DC的中點(diǎn)M，AB的中點(diǎn)N，連PM、MN、PN，由線面平行的判斷得到DC∥面PAB，可得D到面PAB的距離等于點(diǎn)M到面PAB的距離，過M作MH⊥PN于H，由線面垂直的性質(zhì)可得PM⊥DC，進(jìn)一步得到PM⊥面ABCD，即PM⊥AB，然后推得MH⊥面PAB，則MH就是點(diǎn)D到面PAB的距離，然后求解直角三角形得答案．

解答 解（1）連結(jié)AC，BD交于點(diǎn)O，連結(jié)EO．
∵四邊形ABCD為正方形，∴AO=CO，又∵PE=EC，∴PA∥EO，
∴∠DEO為異面直線PA與DE所成的角，
∵面PCD⊥面ABCD，AD⊥CD，∴AD⊥面PCD，∴AD⊥PD．
在Rt△PAD中，PD=AD=a，則PA=$\sqrt{2}a$，
∴$EO=\frac{1}{2}PA=\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
又∵DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}，DO=\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
∴$cos∠DEO=\frac{\frac{3}{4}{a}^{2}+\frac{1}{2}{a}^{2}-\frac{1}{2}{a}^{2}}{2×\frac{\sqrt{3}}{2}a×\frac{\sqrt{2}}{2}a}=\frac{\sqrt{6}}{4}$；
（2）取DC的中點(diǎn)M，AB的中點(diǎn)N，連PM、MN、PN．
∵DC∥AB，DC?面PAB，∴DC∥面PAB，
∴D到面PAB的距離等于點(diǎn)M到面PAB的距離．
過M作MH⊥PN于H，
∵面PDC⊥面ABCD，PM⊥DC，
∴PM⊥面ABCD，∴PM⊥AB，
又∵AB⊥MN，PM∩MN=M，
∴AB⊥面PMN．∴面PAB⊥面PMN，
∴MH⊥面PAB，
則MH就是點(diǎn)D到面PAB的距離．
在Rt△PMN中，MN=a，PM=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
∴$PN=\sqrt{{a}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{2}}=\frac{\sqrt{7}}{2}a$，
∴$MH=\frac{MN•PM}{PN}=\frac{a•\frac{\sqrt{3}}{2}a}{\frac{\sqrt{7}}{2}a}=\frac{\sqrt{21}a}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間異面直線所成角，考查了線面角，考查空間想象能力和計(jì)算能力，是中檔題．