Question

8．已知在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，則異面直線AD₁與BB₁所成角的余弦值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD₁∥BC₁，從而∠B₁BC₁是異面直線AD₁與BB₁所成角（或所成角的補(bǔ)角），由此能求出異面直線AD₁與BB₁所成角的余弦值．

解答 解：∵在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD₁∥BC₁，
∴∠B₁BC₁是異面直線AD₁與BB₁所成角（或所成角的補(bǔ)角），
∵AB=AD=1，AA₁=2，BB₁⊥B₁C₁，
∴BC₁=$\sqrt{1+4}$=$\sqrt{5}$，
∴cos∠B₁BC₁=$\frac{B{B}_{1}}{B{C}_{1}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴異面直線AD₁與BB₁所成角的余弦值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故答案為：$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．