Question

【題目】已知橢圓的方程為，橢圓的離心率正好是雙曲線的離心率的倒數(shù)，橢圓的短軸長(zhǎng)等于拋物線上一點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為，兩點(diǎn)，已知圓：與軸的交點(diǎn)分別為，（點(diǎn)在軸的正半軸），且直線與圓相切，求的面積與的面積乘積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）12

【解析】

（1）根據(jù)題意分別寫出橢圓的離心率，短軸長(zhǎng)，從而得到關(guān)于的方程組，解出的值，得到橢圓方程；（2）根據(jù)直線與圓相切，得到的關(guān)系，分別表示出點(diǎn)、到直線的距離，直線與橢圓聯(lián)立，得到，，從而表示出，然后表示出，代入的關(guān)系，利用基本不等式，求出最大值.

解：（1）雙曲線的離心率為

所以橢圓的離心率，

拋物線的準(zhǔn)線為，

所以拋物線上一點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為，

所以橢圓的短軸長(zhǎng)為，則

設(shè)橢圓的焦距為，

所以得到，，解得，

因此，橢圓的方程為.

（2）由題意知，直線的斜率存在且斜率不為零，不妨設(shè)直線的方程為，

設(shè)點(diǎn)，，

由于直線與圓相切，則有，所以.

點(diǎn)到直線的距離為，

點(diǎn)到直線的距離為，

將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，

消去并整理得.

由韋達(dá)定理可得，.

記的面積為，記的面積為，

由弦長(zhǎng)公式可得

.

所以，

.

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.

因此，的最大值為12.