【題目】已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合,且此拋物線的準線被橢圓截得的弦長為.

1)求橢圓的標準方程;

2)直線交橢圓兩點,線段的中點為,直線是線段的垂直平分線,試問直線是否過定點?若是,請求出該定點的坐標;若不是,請說明理由.

【答案】1;(2)直線過定點,詳見解析.

【解析】

1)由題意得出,由題意知點在橢圓上,由此得出關(guān)于、的方程組,求出、的值,即可得出橢圓的標準方程;

2)解法一:由題意可知,直線的斜率不為零,然后分直線的斜率存在且不為零和直線的斜率不存在兩種情況討論,在第一種情況下,設(shè)直線的方程為,設(shè)點、,將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,列出韋達定理,由得出,并寫出直線的方程,由此可得出直線所過定點的坐標;在第二種情況下可得出直線軸,即可得出直線過定點,由此得出結(jié)論;

解法二:由題意可知,直線的斜率不為零,然后分直線的斜率存在且不為零和直線的斜率不存在兩種情況討論,在第一種情況下,由點差法可得出直線的斜率為,可寫出直線的方程,即可得出直線所過定點的坐標;在第二種情況下可得出直線軸,即可得出直線過定點,由此得出結(jié)論.

1)拋物線的焦點為,準線為.

由于拋物線的準線截橢圓所得弦長為,

則點在橢圓上,則有,解得,

因此,橢圓的標準方程為;

2)法一:顯然點在橢圓內(nèi)部,故,且直線的斜率不為.

當直線的斜率存在且不為時,易知,設(shè)直線的方程為,

代入橢圓方程并化簡得:.

設(shè),,則,解得.

因為直線是線段的垂直平分線,

故直線的方程為,即,即.

,此時,,于是直線過定點

當直線的斜率不存在時,易知,此時直線,故直線過定點.

綜上所述,直線過定點;

法二:顯然點在橢圓內(nèi)部,故,且直線的斜率不為.

當直線的斜率存在且不為時,設(shè),,

則有,

兩式相減得,

由線段的中點為,則,

故直線的斜率,

因為直線是線段的垂直平分線,

故直線的方程為,即,即.

,此時,,于是直線過定點;

當直線的斜率不存在時,易知,此時直線,故直線過定點

綜上所述,直線過定點.

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