Question

19．已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A（1，1）和B（2，-2）且圓心C在直線上l：x-y+1=0
（1）圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若圓 C被過點(diǎn)（1，1）的直線l₁截得的弦長為6，求直線l₁的方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-a）²+（y-a-1）²=r²，將題中點(diǎn)的坐標(biāo)代入，解關(guān)于a、r的方程組得a=-3，r²=25，即可得到圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）由弦長公式求出圓心C到直線l的距離，再由點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心C到直線l的距離，由這兩個(gè)距離相等求出直線的斜率，即得直線的方程．

解答 解：（1）由圓心在直線x-y+1=0上，設(shè)圓心C的坐標(biāo)為（a，a+1）
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-a）²+（y-a-1）²=r²，可得
（1-a）²+（1-a-1）²=r²，（2-a）²+（-2-a-1）²=r²，解之得a=-3，r²=25
∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+3）²+（y+2）²=25；
（2）圓心C到直線l的距離為$\sqrt{25-9}$=4，
當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，方程為x=1，滿足條件；
設(shè)直線l的方程為y-1=k（x-1），即kx-y-k+1=0，
由$\frac{|-3k+2-k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=4，解得k=-$\frac{7}{24}$，
所以直線l的方程為7x+24y-31=0．
綜上所述，直線l的方程為7x+24y-31=0或x=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出直線的斜率是解題的關(guān)鍵．