Question

10．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），M是橢圓上一點，且滿足$\overrightarrow{{F_1}M}$•$\overrightarrow{{F_2}M}$=0，
（1）求離心率e的取值范圍；
（2）當(dāng)離心率e取得最小值時，點N（0，3）到橢圓上的點的最遠距離為5$\sqrt{2}$，
①求此時橢圓的方程；
②過點F₂作斜率為k（k≠0）直線l交橢圓于不同的兩點A、B，其中一點A關(guān)于x軸的對稱點為A'，則直線A'B的是否過定點？若是，求出該定點坐標(biāo)；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由橢圓短軸的兩個端點對橢圓焦點展開的角是橢圓上的點對焦點展開的角中的最大角，可得b≤c，即c²≥b²=a²-c²，化簡解出即可得出．
（2）①當(dāng)離心率e取得最小值時，e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{c}{a}$，a=$\sqrt{2}c$，b=c．橢圓的方程可化為：$\frac{{x}^{2}}{2^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，設(shè)橢圓上的任意一點P（$\sqrt{2}$bcosθ，bsinθ），可得點N（0，3）到橢圓上的點P的距離d=$\sqrt{2^{2}-（bsinθ+3）^{2}+18}$，可知：當(dāng)且僅當(dāng)bsinθ+3=0時，d取得最大值$\sqrt{2^{2}+18}$=5$\sqrt{2}$，解得b²，即可得出．
②直線l的方程為：y=k（x-4），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A′（x₁，-y₁）．與橢圓方程聯(lián)立化為：（1+2k²）x²-16k²x+32k²-32=0，直線A′B的方程為：y+y₁=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（x-x₁），把y₁=k（x₁-4），y₂=k（x₂-4），代入上述方程化簡后，令y=0，化為：x=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-4（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}-8}$，把根與系數(shù)的關(guān)系代入即可得出．

解答 解：（1）∵橢圓短軸的兩個端點對橢圓焦點展開的角是橢圓上的點對焦點展開的角中的最大角，
∴b≤c，∴c²≥b²=a²-c²，∴$\frac{c}{a}$$≥\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴e∈$[\frac{\sqrt{2}}{2}，1）$．
（2）①當(dāng)離心率e取得最小值時，e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{c}{a}$，∴a=$\sqrt{2}c$，b=c．
橢圓的方程可化為：$\frac{{x}^{2}}{2^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
設(shè)橢圓上的任意一點P（$\sqrt{2}$bcosθ，bsinθ），
點N（0，3）到橢圓上的點P的距離d=$\sqrt{（\sqrt{2}bcosθ）^{2}+（bsinθ-3）^{2}}$=$\sqrt{2^{2}-（bsinθ+3）^{2}+18}$
當(dāng)且僅當(dāng)bsinθ+3=0時，d取得最大值$\sqrt{2^{2}+18}$=5$\sqrt{2}$，解得b²=16．
∴此時橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{32}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1．
②F₂（4，0）．
直線l的方程為：y=k（x-4），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A′（x₁，-y₁）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-4）}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=32}\end{array}\right.$，化為：（1+2k²）x²-16k²x+32k²-32=0，
∴x₁+x₂=$\frac{16{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{32{k}^{2}-32}{1+2{k}^{2}}$．
直線A′B的方程為：y+y₁=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（x-x₁），
由y₁=k（x₁-4），y₂=k（x₂-4），代入上述方程可得：（y+kx₁-4k）（x₂-x₁）=[k（x₁+x₂）-8k]（x-x₁），
令y=0，化為：x=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-4（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}-8}$=$\frac{\frac{64（32{k}^{2}-1）}{1+2{k}^{2}}-\frac{64{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}}{\frac{16{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}-8}$=8．
∴直線A'B經(jīng)過定點（8，0）．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次的根與系數(shù)的關(guān)系、直線經(jīng)過定點問題、兩點之間距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．