Question

10．已知$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow$=（sinβ，cosβ），α∈（0，π），β（0，2π），tan$\frac{β}{2}$=$\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=\frac{5}{13}$，
求（1）sinβ，cosβ（2）sinα

Answer 1

分析 （1）由于tan$\frac{β}{2}$=$\frac{1}{2}$，可得sinβ=$2sin\frac{β}{2}cos\frac{β}{2}$=$\frac{2sin\frac{β}{2}cos\frac{β}{2}}{si{n}^{2}\frac{β}{2}+co{s}^{2}\frac{β}{2}}$=$\frac{2tan\frac{β}{2}}{1+ta{n}^{2}\frac{β}{2}}$．同理可得cosβ=$\frac{1-ta{n}^{2}\frac{β}{2}}{1+ta{n}^{2}\frac{β}{2}}$．
（2）∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=\frac{5}{13}$=cosαsinβ+sinαcosβ=$\frac{4}{5}$cosα+$\frac{3}{5}$sinα，又α∈（0，π），sin²α+cos²α=1，解出即可．

解答 解：（1）∵tan$\frac{β}{2}$=$\frac{1}{2}$，∴sinβ=$2sin\frac{β}{2}cos\frac{β}{2}$=$\frac{2sin\frac{β}{2}cos\frac{β}{2}}{si{n}^{2}\frac{β}{2}+co{s}^{2}\frac{β}{2}}$=$\frac{2tan\frac{β}{2}}{1+ta{n}^{2}\frac{β}{2}}$=$\frac{2×\frac{1}{2}}{1+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{4}{5}$．
同理可得cosβ=$\frac{1-ta{n}^{2}\frac{β}{2}}{1+ta{n}^{2}\frac{β}{2}}$=$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{2}}{1+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{3}{5}$．
（2）∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=\frac{5}{13}$=cosαsinβ+sinαcosβ=$\frac{4}{5}$cosα+$\frac{3}{5}$sinα，
又α∈（0，π），sin²α+cos²α=1，
化為7sin²α-150sinα+48=0，
解得sinα=$\frac{75-\sqrt{5289}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)求值、倍角公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．