Question

5．已知函數(shù)f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2cos²x-1．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且a=1，f（A）=$\frac{1}{2}$，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用輔助角公式將函數(shù)f（x）進行化簡，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）利用三角函數(shù)的恒等變換，求出A的值，利用三角形的面積公式進行結(jié)合三角函數(shù)的最值性質(zhì)進行求解即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2cos²x-1=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x+cos2x$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x$=$sin（2x+\frac{π}{6}）$，
由2kπ-$\frac{π}{2}$＜2x+$\frac{π}{6}$＜2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
可得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z．
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間：[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（2）∵$f（x）=\frac{1}{2}$，∴$sin（2A+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}，又0＜A＜\frac{π}{6}$，
∴$\frac{π}{6}＜2A+\frac{π}{6}＜\frac{13π}{6}$，
∴$2A+\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}，故A=\frac{π}{3}$
在△ABC中，
∵$a=1A=\frac{π}{3}∴1={b^2}+{c^2}-bc≥bc即{S_{△ABC}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}bc≤\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
當(dāng)且僅當(dāng)b=c時，△ABC的面積取到最大值$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題主要考查三角函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用以及三角函數(shù)的恒等變換，考查學(xué)生的運算能力．