Question

6．如圖，已知G為△ABC的重心，P為平面上任一點(diǎn)．求證：$\overrightarrow{PG}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)重心是三角形中線的交點(diǎn)及重心的性質(zhì)即可得到：$\overrightarrow{PG}=\overrightarrow{PA}+\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，而同理會(huì)得到$\overrightarrow{PG}=\overrightarrow{PB}+\frac{1}{3}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}）$，$\overrightarrow{PG}=\overrightarrow{PC}+\frac{1}{3}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）$，這樣上面三個(gè)式子相加即可得出$\overrightarrow{PG}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}）$．

解答 證明：重心是中線交點(diǎn)，再根據(jù)重心到頂點(diǎn)距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍得到：
$\overrightarrow{PG}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{PA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{PA}+\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$；
同理，$\overrightarrow{PG}=\overrightarrow{PB}+\frac{1}{3}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}）$，$\overrightarrow{PG}=\overrightarrow{PC}+\frac{1}{3}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）$；
三式相加得：$3\overrightarrow{PG}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$；
∴$\overrightarrow{PG}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}）$．

點(diǎn)評(píng) 考查向量加法的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則，以及相反向量的概念，及向量的數(shù)乘運(yùn)算，重心的定義及其性質(zhì)．