Question

1．有兩個每項都是正數(shù)的數(shù)列{a_n}、{b_n}，a₁=1，b₁=2，a₂=3，且b_n是a_n與a_n+1的等差中項，a_n+1是b_n與b_n+1的等比中項，求$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$．

Answer 1

分析 利用等差數(shù)列的定義證明數(shù)列{$\sqrt{_{n}}$}是等差數(shù)列．再利用等差數(shù)列的通項公式求出$\sqrt{_{n}}$的通項公式，進而求出b_n，a_n．

解答 解：∵a_n，b_n，a_n+1成等差數(shù)列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比數(shù)列
∴2b_n=a_n+a_n+1①，
a_n+1²=b_n•b_n+1②．
由②得a_n+1=$\sqrt{_{n}_{n+1}}$③．
將③代入①得，對任意n≥2，n∈N^*，
有2b_n=$\sqrt{_{n-1}_{n}}$+$\sqrt{_{n}_{n+1}}$．
∵b_n＞0，
∴2$\sqrt{_{n}}$=$\sqrt{_{n-1}}$+$\sqrt{_{n+1}}$，
∴{$\sqrt{_{n}}$}是等差數(shù)列．
設數(shù)列{$\sqrt{_{n}}$}的公差為d，
由a₁=1，b₁=2，a₂=3，得b₂=$\frac{9}{2}$．
∴$\sqrt{_{1}}$=$\sqrt{2}$，$\sqrt{_{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴$\sqrt{_{n}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（n+1），
∴b_n=$\frac{（n+1）^{2}}{2}$．
a_n=$\sqrt{_{n-1}_{n}}$=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=$\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查了等差、等比數(shù)列的通項公式，利用構造等差數(shù)列法求得數(shù)列{$\sqrt{_{n}}$}的通項公式是解答本題的突破口，本題還考查了學生的運算能力，運算要細心．