Question

3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα\\ y=sinα\end{array}$（α為參數(shù)），在以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（1）求曲線C在直角坐標(biāo)系中的普通方程和直線l的傾斜角；
（2）設(shè)點(diǎn)P（0，1），若直線l與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，求|PA|+|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα\\ y=sinα\end{array}$（α為參數(shù)），利用平方關(guān)系可得曲線C的普通方程．由直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，展開化為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（sinθ-cosθ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，利用互化公式可得：直線l的普通方程，利用斜率與傾斜角的關(guān)系即可得出．
（2）顯然點(diǎn)P（0，1）在直線l：x-y+1=0上．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程，得到關(guān)于t的一元二次方程，此方程的兩根為直線l與曲線C的交點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)t_A，t_B，利用|PA|+|PB|=|t_A|+|t_B|即可得出．

解答 解：（1）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα\\ y=sinα\end{array}$（α為參數(shù)），
利用平方關(guān)系可得曲線C的普通方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
由直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
展開化為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（sinθ-cosθ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
可得：直線l的普通方程為x-y+1=0，斜率k=1，∴直線l的傾斜角為$\frac{π}{4}$．
（2）顯然點(diǎn)P（0，1）在直線l：x-y+1=0上．
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程，得$5{t^2}+8\sqrt{2}t=0$．
此方程的兩根為直線l與曲線C的交點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)t_A，t_B，
∴t_A+t_B=$-\frac{8\sqrt{2}}{5}$．
∴|PA|+|PB|=|t_A|+|t_B|=|t_A+t_B|=$\frac{8\sqrt{2}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、直線參數(shù)方程的應(yīng)用、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．