Question

8．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax²+ax恰有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，0）
• B． （0，+∞）
• C． （0，1）∪（1，+∞）
• D． （-∞，0）∪{1}

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），由題知方程 lnx-ax²+ax=0，即方程$\frac{lnx}{x}=a（x-1）$恰有兩解．即兩個函數(shù)有兩個交點．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，即可得出．

解答 解：函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），由題知方程 lnx-ax²+ax=0，即方程$\frac{lnx}{x}=a（x-1）$恰有兩解．
設(shè)$g（x）=\frac{lnx}{x}$，則g'（x）=$\frac{1-lnx}{x^2}$，當0＜x＜e時，g'（x）＞0，當x＞e時，g'（x）＜0，
∴g（x）在（0，e）上是增函數(shù)，在（e，+∞）上是減函數(shù)，且g（1）=0，當x＞e時，g（x）＞0，g'（1）=1，
作出函數(shù)y=g（x）與函數(shù)y=a（x-1）的圖象如下圖所示，
由圖可知，函數(shù)y=g（x）的圖象與函數(shù)y=a（x-1）的圖象恰有2個交點的充要條件為0＜a＜1或a＞1，
故選：C．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了轉(zhuǎn)化能力與計算能力，屬于難題．