Question

13．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)，若cosA+sinA-$\frac{2}{cosC+sinC}$=0，則$\frac{a+c}$的值是（　�。�

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 在△ABC中，cosA+sinA-$\frac{2}{cosC+sinC}$=0，展開(kāi)利用和差公式可得cos（A-C）+sin（A+C）=2，因此只有cos（A-C）=sin（A+C）=1，求出角，再利用正弦定理即可得出．

解答 解：∵在△ABC中，cosA+sinA-$\frac{2}{cosC+sinC}$=0，
∴（cosA+sinA）（cosC+sinC）=2，
展開(kāi)可得cosAcosC+sinCcosA+sinAcosC+sinAsinC=2，
即cos（A-C）+sin（A+C）=2，
又cos（A-C）≤1且sin（A+C）≤1，
故只有cos（A-C）=sin（A+C）=1，
∴A-C=0，A+C=$\frac{π}{2}$，∴A=C=$\frac{π}{4}$，B=$\frac{π}{2}$，
由正弦定理可得$\frac{a+c}$=$\frac{sinA+sinC}{sinB}$=$\frac{sin\frac{π}{4}+sin\frac{π}{4}}{sin\frac{π}{2}}$=$\sqrt{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理、和差公式、三角函數(shù)的值域，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．