Question

18．在三棱錐S-ABC中，∠ABC=90°，AC中點(diǎn)為點(diǎn)O，AC=2，SO⊥平面ABC，SO=$\sqrt{3}$，則三棱錐外接球的表面積為$\frac{16π}{3}$．

Answer 1

分析 利用勾股定理列方程得出外接球半徑，從而可得外接球的面積．

解答 解：∵∠ABC=90°，SO⊥平面ABC，
∴外接球的球心M在直線SO上，
且BO=$\frac{1}{2}$AC=1，
設(shè)OM=h，則外接球的半徑R=MS=$\sqrt{3}$-h，
又R=MB=$\sqrt{O{M}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{h}^{2}+1}$，
∴$\sqrt{{h}^{2}+1}$=$\sqrt{3}$-h，
解得h=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴R=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴外接球的表面積S=4πR²=$\frac{16π}{3}$．
故答案為：$\frac{16π}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了棱錐與球的位置關(guān)系，球的面積計算，屬于中檔題．