Question

7．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊為a、b、c．且$\frac{cosA}{cosC}=\frac{a}{2b-c}$
（1）求角A的值；
（2）設(shè)a=2，求△ABC面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）邊化角的思想，利用正弦定理和三角形內(nèi)角和定理，可得角A的值；
（2）邊化角的思想，利用三角函數(shù)的有界限可得面積的取值范圍．

解答 解：（1）∵$\frac{cosA}{cosC}=\frac{a}{2b-c}$，
由正弦定理可得：$\frac{cosA}{cosC}=\frac{sinA}{2sinB-sinC}$
∴2cosAsinB-cosAsinC=sinAcosC，
2cosAsinB=sin（A+C）=sinB．
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，
∴$A=\frac{π}{3}$．
（2）∵$a=2，A=\frac{π}{3}，由正弦定理得：\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，
∴$b=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}sinB，c=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}sinC$．
∴$S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}sinBsinC$$S=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}sinBsin（{\frac{2π}{3}-B}）=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}sin（2B-\frac{π}{6}）+\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
∵$B∈（0，\frac{2π}{3}）$，
∴$2B-\frac{π}{6}∈（-\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}）$，
∴$sin（2B-\frac{π}{6}）∈（-\frac{1}{2}，1]$
∴$S∈（0，\sqrt{3}]$．
即△ABC面積的取值范圍為（0，$\sqrt{3}$]．

點評 本題考查了正余弦定理的靈活運用和三角函數(shù)的有界限求解最值問題．屬于中檔題．