Question

12．拋物線C₁：y²=2px（p＞0），圓C₂：（x-1）²+y²=1，拋物線C₁上只有頂點(diǎn)在圓C₂上，其他點(diǎn)均在圓C₂的外面．
（1）求p的取值范圍；
（2）過拋物線C₁上一定點(diǎn)M（x₀，y₀）（y₀＞0），作兩條直線分別交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），當(dāng)MA與MB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，證明直線AB的斜率是非零常數(shù)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)點(diǎn)D（x，y）為拋物線C₁上任意一點(diǎn)，則$|{D{C_1}}|=\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}=\sqrt{{x^2}-2（1-p）x+1}（x≥0）$，分類討論求p的取值范圍；
（2）求出A，B的坐標(biāo)，利用斜率公式，即可證明直線AB的斜率是非零常數(shù)．

解答 解：（1）由已知有C₁（1，0），設(shè)點(diǎn)D（x，y）為拋物線C₁上任意一點(diǎn)，則$|{D{C_1}}|=\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}=\sqrt{{x^2}-2（1-p）x+1}（x≥0）$
令f（x）=x²-2（1-p）x+1，x∈[0，+∞），即當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，f（x）有最小值1，
若0＜p＜1，則當(dāng)x=1-p取到最小值，令1-p=0，則p=1，矛盾；
若p≥1，則當(dāng)x=0取到最小值1，符合要求，
綜上p≥1
（2）設(shè)直線MA的斜率為k，直線MB的斜率為-k，k≠0，
直線MA的方程為y-y₀=k（x-x₀），將$x=\frac{y^2}{2p}$代入整理得到ky²-2py+2py₀-2pkx₀=0，
則${y_A}+{y_0}=\frac{2p}{k}$，那么${y_A}=\frac{2p}{k}-{y_0}$，
又y_A-y₀=k（x_A-x₀），整理得到${x_A}=\frac{2p}{k^2}-\frac{{2{y_0}}}{k}+{x_0}$，
將其中的k換成-k，得到${x_B}=\frac{2p}{k^2}+\frac{{2{y_0}}}{k}+{x_0}$，${y_B}=-\frac{2p}{k}-{y_0}$
那么直線AB的斜率${K_{AB}}=\frac{{{y_B}-{y_A}}}{{{x_B}-{x_A}}}=\frac{{-\frac{2p}{k}-{y_0}-（\frac{2p}{k}-{y_0}）}}{{\frac{2p}{k^2}+\frac{{2{y_0}}}{k}+{x_0}-（\frac{2p}{k^2}-\frac{{2{y_0}}}{k}+{x_0}）}}=-\frac{p}{y_0}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的性質(zhì)和應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．