Question

3．已知（2+x²）${（ax+\frac{1}{a}）^6}$展開式中含x⁴項的系數(shù)為45，則正實數(shù)a的值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$或1．

Answer 1

分析 根據(jù)${（ax+\frac{1}{a}）^6}$展開式的通項公式求出展開式中含x⁴與x²，從而求出（2+x²）${（ax+\frac{1}{a}）^6}$展開式中含x⁴項的系數(shù)，列出方程求出正實數(shù)a的值．

解答 解：∵${（ax+\frac{1}{a}）^6}$展開式的通項公式為
T_r+1=${C}_{6}^{r}$•（ax）^6-r•${（\frac{1}{a}）}^{r}$=${C}_{6}^{r}$•a^6-2r•x^6-r，
令6-r=4，得r=2，
∴T₂₊₁=${C}_{6}^{2}$•a²•x⁴=15a²x⁴；
令6-r=2，得r=4，
∴T₄₊₁=${C}_{6}^{4}$•a^-2•x²=15a^-2x²；
∴（2+x²）${（ax+\frac{1}{a}）^6}$展開式中含x⁴項的系數(shù)為
2×15a²+15a^-2=45，
整理得2a⁴-3a²+1=0，
解得a²=1或a²=$\frac{1}{2}$，
∴正實數(shù)a=1或a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$或1．

點評 本題考查了二項式定理的應(yīng)用以及利用二項展開式的通項公式求展開式中某項系數(shù)的問題，是綜合性題目．