Question

20．已知函數(shù)f（x）=sin2x+$\sqrt{2}$cos（x-$\frac{π}{4}$），則f（x）的值域是[-$\frac{5}{4}$，1+$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 把函數(shù)解析式利用誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦函數(shù)公式進(jìn)行變形，然后利用完全平方公式化簡(jiǎn)，由余弦函數(shù)的值域即可得到函數(shù)的值域．

解答 解：f（x）=sin2x+$\sqrt{2}$cos（x-$\frac{π}{4}$）
=cos（2x-$\frac{π}{2}$）+$\sqrt{2}$cos（x-$\frac{π}{4}$）
=2cos²（x-$\frac{π}{4}$）-1+$\sqrt{2}$cos（x-$\frac{π}{4}$）
=2[cos（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{\sqrt{2}}{4}$]²-$\frac{5}{4}$，
∵cos（x-$\frac{π}{4}$）∈[-1，1]，
∴f（x）=2[cos（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{\sqrt{2}}{4}$]²-$\frac{5}{4}$∈[-$\frac{5}{4}$，1+$\sqrt{2}$]．
故答案為：[-$\frac{5}{4}$，1+$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了誘導(dǎo)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的值域，以及完全平方公式的應(yīng)用，其技巧性比較強(qiáng)，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．