Question

7．在數(shù)列{a_n}中，對任意n∈N^*，若存在常數(shù)λ₁，λ₂，…，λ_k，使得a_n+k=λ₁a_n+k-1+λ₂a_n+k-2+…+λ_ka_n（λ_i≠0，i=1，2，…，k）恒成立，則稱數(shù)列{a_n}為k階數(shù)列．
①若a_n=2ⁿ，則數(shù)列{a_n}為1階數(shù)列；
②若a_n=2n+1，則數(shù)列{a_n}為2階數(shù)列；
③若a_n=n²，則數(shù)列{a_n}為3階數(shù)列；
以上結(jié)論正確的序號是（　　）

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ①②③

Answer 1

分析 利用等差數(shù)列、等比數(shù)列和數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=n²的性質(zhì)，根據(jù)k階遞歸數(shù)列的定義，逐個進(jìn)行判斷，能夠求出結(jié)果．

解答 解：①∵a_n=2ⁿ，
∴a_n+1=2a_n，
∴?k=1，λ=2，使a_n+k=2a_n+k-1成立，
∴{a_n}為1階遞歸數(shù)列，故①成立；
②∵a_n=2n+1，
∴a_n=3+2（n-1），
∴?k=2，λ₁=2，λ₂=-1，使a_n+k=λ₁a_n+k-1+λ₂a_n+k-2成立，
∴{a_n}為2階遞歸數(shù)列，故②成立；
③∵若數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=n²，
∴?k=3，λ₁=3，λ₂=-3，λ₃=1，使a_n+k=λ₁a_n+k-1+λ₂a_n+k-2+λ₃a_n+k-3成立，
∴{a_n}為3階遞歸數(shù)列，故③成立．
故選D．

點評 本題考查新定義的理解和運用，數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意正確理解k階遞歸數(shù)列的定義．