Question

20．函數(shù)y=0.25${\;}^{{x}^{2}-2x+\frac{1}{2}}$的值域是（0，2]，單調(diào)增區(qū)間是（-∞，1]．

Answer 1

分析 利用配方法求出指數(shù)上的二次三項式的范圍，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得值域，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．

解答 解：令t=${x}^{2}-2x+\frac{1}{2}$，
則y=0.25${\;}^{{x}^{2}-2x+\frac{1}{2}}$=g（t）=0.25^t，
由t=${x}^{2}-2x+\frac{1}{2}$=$（x-1）^{2}-\frac{1}{2}$$≥-\frac{1}{2}$，
∴g（t）=0.25^t∈（0，2]；
∵t=${x}^{2}-2x+\frac{1}{2}$在（-∞，1]上為減函數(shù)，且g（t）=0.25^t為減函數(shù)，
∴函數(shù)y=0.25${\;}^{{x}^{2}-2x+\frac{1}{2}}$的增區(qū)間為（-∞，1]．
故答案為：（0，2]，（-∞，1]．

點評 本題考查與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和值域的求法，屬中檔題．