Question

以y軸為左準線，離心率為

1

2

的橢圓過定點P（1，2），則此橢圓的左頂點的軌跡方程為

 

．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由題意可知橢圓在y軸右側，長軸平行于x軸，設出左頂點坐標，由橢圓的離心率為

1

2

得到左焦點F的坐標，代入橢圓的第二定義得橢圓的左頂點的軌跡方程．

解答： 解：∵橢圓經過點M（1，2），且以y軸為準線，
∴橢圓在y軸右側，長軸平行于x軸，
設橢圓左頂點為A（x，y），
∵橢圓的離心率為

1

2

，
∴左頂點A到左焦點F的距離為A到y(tǒng)軸的距離的

1

2

，
從而左焦點F的坐標為（

3x

2

，y），
設d為點M到y(tǒng)軸的距離，則d=1，
根據

|MF|

d

=

1

2

及兩點間距離公式，可得
(

3x

2

-1)2+(y-2)2=(

1

2

)2，即
9(x-

2

3

)2+4(y-2)2=1．
故答案為：9(x-

2

3

)2+4(y-2)2=1．

點評：本題考查了軌跡方程的求法，考查了橢圓的第二定義，體現(xiàn)了數學轉化思想方法，是中檔題．