Question

點(diǎn)G是△OAB的重心，過G任作直線PQ分別交OA、OB于點(diǎn)P、Q，若

OP

=m

OA

，

OQ

=n

OB

，mn≠0，則

1

m

+

1

n

=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式,平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：由于三點(diǎn)P，G，Q共線，由向量共線定理可得：存在實(shí)數(shù)λ滿足：

OG

=λ

OP

+(1-λ)

OQ

．利用點(diǎn)G是△OAB的重心，可得

OG

=

1

3

(

OA

+

OB

)，再利用平面向量基本定理即可得出．

解答： 解：如圖所示，
由于三點(diǎn)P，G，Q共線，
∴存在實(shí)數(shù)λ滿足：

OG

=λ

OP

+(1-λ)

OQ

，
∵點(diǎn)G是△OAB的重心，
∴

OG

=

2

3

OC

=

2

3

×

1

2

(

OA

+

OB

)=

1

3

(

OA

+

OB

)，
又∵

OP

=m

OA

，

OQ

=n

OB

，mn≠0，
∴

1

3

OA

+

1

3

OB

=λm

OA

+(1-λ)n

OB

，
由于

OA

，

OB

不共線，
∴

λm= 1 3 (1-λ)n= 1 3

，
∴

1

m

+

1

n

=3λ+3（1-λ）=3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量共線定理、重心定理、平面向量基本定理等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和解決問題的能力，屬于難題．