已知數(shù)列的首項(xiàng)其中,令集合.
(Ⅰ)若,寫出集合中的所有的元素;
(Ⅱ)若,且數(shù)列中恰好存在連續(xù)的7項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列,求的所有可能取值構(gòu)成的集合;
(Ⅲ)求證:.
(Ⅰ)集合的所有元素為:4,5,6,2,3,1.
(Ⅱ)首項(xiàng)的所有可能取值的集合為{,}.
(Ⅲ)見解析.

試題分析:(Ⅰ)將代入,依次寫出集合的所有元素.
(Ⅱ)不妨設(shè)成等比數(shù)列的這連續(xù)7項(xiàng)的第一項(xiàng)為,關(guān)鍵是理解好“如果是3的倍數(shù),則;如果是被3除余1,則由遞推關(guān)系可得,所以是3的倍數(shù),所以;如果被3除余2,則由遞推關(guān)系可得,所以是3的倍數(shù),所以.”得到結(jié)論:該7項(xiàng)的等比數(shù)列的公比為.
(Ⅲ)分“被3除余1,被3除余2,,被3除余0”加以討論,確定得到的關(guān)系為:,
從而利用
進(jìn)一步得到,所以.數(shù)列中必存在某一項(xiàng)(否則會(huì)與上述結(jié)論矛盾。
并對,,加以討論,得到,.
此題較難,對考生邏輯思維能力要求較高
試題解析:(Ⅰ)集合的所有元素為:4,5,6,2,3,1..                3分
(Ⅱ)不妨設(shè)成等比數(shù)列的這連續(xù)7項(xiàng)的第一項(xiàng)為,
如果是3的倍數(shù),則;如果是被3除余1,則由遞推關(guān)系可得,所以是3的倍數(shù),所以;如果被3除余2,則由遞推關(guān)系可得,所以是3的倍數(shù),所以.
所以,該7項(xiàng)的等比數(shù)列的公比為.
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824023916759542.png" style="vertical-align:middle;" />,所以這7項(xiàng)中前6項(xiàng)一定都是3的倍數(shù),而第7項(xiàng)一定不是3的倍數(shù)(否則構(gòu)成等比數(shù)列的連續(xù)項(xiàng)數(shù)會(huì)多于7項(xiàng)),
設(shè)第7項(xiàng)為,則是被3除余1或余2的正整數(shù),則可推得
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824023916805682.png" style="vertical-align:middle;" />,所以.
由遞推關(guān)系式可知,在該數(shù)列的前項(xiàng)中,滿足小于2014的各項(xiàng)只有:
,,
所以首項(xiàng)的所有可能取值的集合為
{,}.                       8分
(Ⅲ)若被3除余1,則由已知可得,
被3除余2,則由已知可得,,;
被3除余0,則由已知可得,;
所以,
所以
所以,對于數(shù)列中的任意一項(xiàng),“若,則”.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824023916447542.png" style="vertical-align:middle;" />,所以.
所以數(shù)列中必存在某一項(xiàng)(否則會(huì)與上述結(jié)論矛盾。
,結(jié)論得證.
,則;若,則,
所以.                      13分
練習(xí)冊系列答案
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A.B.C.D.

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