Question

7．已知函數(shù)f（x）=1n（e-2+|x|）-$\frac{5}{1+{x}^{2}}$，若f（x-1）＜0，則x的取值范圍是（-1，3）．

Answer 1

分析 先根據(jù)定義判斷f（x）為偶函數(shù)，再根據(jù)導數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關系，可得f（x）在[0，+∞） 上為增函數(shù)，f（0）＜0，f（2）=0，即可求出f（x）＜0的解集，根據(jù)圖象的平移可以得到f（x-1）＜0的解集．

解答 解：∵f（x）=1n（e-2+|x|）-$\frac{5}{1+{x}^{2}}$，
易知函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，
當x≥0時f（x）=1n（e-2+x）-$\frac{5}{1+{x}^{2}}$，
∴f′（x）=$\frac{1}{e-2+x}$+$\frac{10x}{（1+{x}^{2}）^{2}}$＞0在[0，+∞]上恒成立，
∴f（x）在[0，+∞） 上為增函數(shù)，
∵f（0）=ln（e-2）-5＜0，f（2）=ln（e-2+2）-$\frac{5}{1+{2}^{2}}$=0，
∴當0≤x＜2時，f（x）＜0，
由f（x）為偶函數(shù)，
∴當-2＜x＜2時，f（x）＜0，
由f（x）的圖象向右平移1個單位得到f（x-1），
由f（x-1）＜0，
∴-1＜x＜3，
故不等式f（x-1）＜0的解集為（-1，3）．
故答案為：（-1，3）．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性，導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關系以及函數(shù)圖象的平移，屬于中檔題．