Question

19．已知等差數(shù)列{a_n}（n∈N^*）中，a₁=2，前4項之和S₄=5a₂+2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若點A₁（a₁，b₁），A₂（a₂，b₂），…A_n（a_n，b_n）（n∈N^*）從左至右依次都在函數(shù)y=2${\;}^{\frac{x-2}{4}}$+$\frac{16}{（x+2）（x+6）}$的圖象上，求這n個點A₁，A₂，A₃，…，A_n的縱坐標(biāo)之和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，運(yùn)用調(diào)查核實了的通項公式和求和公式，解方程可得d=4，進(jìn)而得到所求通項公式；
（2）運(yùn)用數(shù)列的求和方法：分組求和和裂項相消求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡整理即可得到所求和．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由題意可得4a₁+$\frac{4×3}{2}$d=5（a₁+d）+2，
a₁=2，解得d=4，
即有a_n=a₁+（n-1）d=4n-2；
（2）由題意可得b₁=2⁰+$\frac{16}{4×8}$=1$\frac{1}{2}$；
a₂=6，b₂=2+$\frac{16}{8×12}$=2$\frac{1}{6}$；
…，
a_n=4n-2，b_n=2^n-1+$\frac{16}{4n•（4n+4）}$
=2^n-1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
即有縱坐標(biāo)之和T_n=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$+1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=2ⁿ-$\frac{1}{n+1}$．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：分組求和和裂項相消求和，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．