Question

如圖，多面體OABCD，AB=CD=2，AD=BC=2

3

，AC=BD=

10

，且OA，OB，OC兩兩垂直，給出下列4個(gè)結(jié)論：
①三棱錐O-ABC的體積是定值；
②直線AD與OB所成的角是60°；
③球面經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C、D兩點(diǎn)的球的直徑是

13

；
④直線OB∥平面ACD．
其中正確的結(jié)論是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：構(gòu)造長(zhǎng)方體，設(shè)OA=x，OB=y，OC=z，則x²+y²=4，x²+z²=10，y²+z²=12，解得，x=1，y=

3

，z=3，運(yùn)用棱錐的體積公式，即可判斷①；運(yùn)用異面直線所成角的定義，即可判斷②；球面經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C、D兩點(diǎn)的球的直徑即為長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)，即可判斷③；由于OB∥AE，AE和平面ACD相交，即可判斷④．

解答： 解：構(gòu)造長(zhǎng)方體，如右圖，設(shè)OA=x，OB=y，OC=z，
則x²+y²=4，x²+z²=10，y²+z²=12，解得，x=1，y=

3

，z=3，
對(duì)于①，三棱錐O-ABC的體積為

1

3

OC•S_△OAB=

1

3

×3×

1

2

×1×

3

=

3

2

，故①對(duì)；
對(duì)于②，由于OB∥AE，則∠DAE即為直線AD與OB所成的角，
由tan∠DAE=

3

3

，則∠DAE=60°，故②對(duì)；
對(duì)于③，球面經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C、D兩點(diǎn)的球的直徑即為長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)，
即為

12+( 3 )2+32

=

13

，故③對(duì)；
對(duì)于④，由于OB∥AE，AE和平面ACD相交，則OB和平面ACD相交，故D錯(cuò)．
故答案為：①②③

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面的位置關(guān)系的判斷，空間異面直線所成的角，以及三棱錐的體積的計(jì)算和多面體的外接球的關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．