Question

已知函數(shù)f（x）=（x²-3x+3）•e^x的定義域?yàn)閇-2，t]，設(shè)f（-2）=m，f（t）=n．
（1）試確定t的取值范圍，使得函數(shù)f（x）在[-2，t]上為單調(diào)函數(shù)；
（2）求證：m＜n；
（3）求證：對(duì)于任意的t＞-2，總存在x₀∈（-2，t），滿足

f′(x0)

ex0

=

2

3

（t-1）²；又若方程

f′(x0)

ex0

=

2

3

（t-1）²；在（-2，t）上有唯一解，請(qǐng)確定t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)得f′（x）=（2x-3）•e^x+（x²-3x+3）•e^x=x（x-1）e^x，從而可得f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上遞增，在（0，1）上遞減，從而確定t的取值范圍；
（2）借助（1）可知，f（x）在x=1處取得極小值e，求出f（-2）=m=

13

e2

＜e，則f（x）在[-2，+∞）上的最小值為f（-2），從而得證；
（3）化簡(jiǎn)

f′(x0)

ex0

=

x

2 0

-x₀，從而將

f′(x0)

ex0

=

2

3

（t-1）²化為

x

2 0

-x₀=

2

3

（t-1）²，令g（x）=x²-x-

2

3

（t-1）²，則證明方程x²-x-

2

3

（t-1）²=0在（-2，t）上有解，并討論解的個(gè)數(shù)；由二次函數(shù)的性質(zhì)討論即可．

解答： 解：（1）∵f′（x）=（2x-3）•e^x+（x²-3x+3）•e^x=x（x-1）e^x，
由f′（x）＞0可得，x＞1或x＜0；
由f′（x）＞＜0可得，0＜x＜1；
∴f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上遞增，在（0，1）上遞減，
欲f（x）在[-2，t]上為單調(diào)函數(shù)，
則-2＜t≤0；
∴t的取值范圍為（-2，0]．
（2）證明：∵f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上遞增，在（0，1）上遞減，
∴f（x）在x=1處取得極小值e，
又∵f（-2）=m=

13

e2

＜e=f（1），
∴f（x）在[-2，+∞）上的最小值為f（-2）．
從而當(dāng)t＞-2時(shí)，f（-2）＜f（t），即m＜n；
（3）證明：∵

f′(x0)

ex0

=

x

2 0

-x₀，
∴

f′(x0)

ex0

=

2

3

（t-1）²可化為

x

2 0

-x₀=

2

3

（t-1）²，
令g（x）=x²-x-

2

3

（t-1）²，
則證明方程x²-x-

2

3

（t-1）²=0在（-2，t）上有解，并討論解的個(gè)數(shù)．
∵g（-2）=6-

2

3

（t-1）²=-

2

3

（t+2）（t-4），
g（t）=t（t-1）-

2

3

（t-1）²=

1

3

（t+2）（t-1），
①當(dāng)t＞4或-2＜t＜1時(shí)，
g（-2）•g（t）＜0，則方程x²-x-

2

3

（t-1）²=0在（-2，t）上有且只有一解；
②當(dāng)1＜t＜4時(shí)，g（-2）＞0，且g（t）＞0，
又∵g（0）=-

2

3

（t-1）²＜0，
∴方程x²-x-

2

3

（t-1）²=0在（-2，t）上有解，且有兩解；
③當(dāng)t=1時(shí)，g（x）=x²-x=0，
從而解得，x=0或x=1，
故方程x²-x-

2

3

（t-1）²=0在（-2，t）上有且只有一解；
④當(dāng)t=4時(shí)，g（x）=x²-x-6=0，
從而解得，x=-2或x=3，
故方程x²-x-

2

3

（t-1）²=0在（-2，t）上有且只有一解；
綜上所述，對(duì)于任意的t＞-2，總存在x₀∈（-2，t），滿足

f′(x0)

ex0

=

2

3

（t-1）²；
當(dāng)方程

f′(x0)

ex0

=

2

3

（t-1）²在（-2，t）上有唯一解時(shí)，t的取值范圍為（-2，1]∪[4，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想應(yīng)用，屬于難題．