【題目】如圖,設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn),長軸在軸上,上頂點(diǎn)為,左,右焦點(diǎn)分別為,線段的中點(diǎn)分別為,且 是面積為4的直角三角形.

1)求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)過做直線交橢圓于兩點(diǎn),使,求直線的方程.

【答案】(1),;(2).

【解析】試題分析:(1)設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,右焦點(diǎn)為F2(c,0).已知△AB1B2是直角三角形,又|AB1|=|AB2|,故∠B1AB2=90°,可得c=2b,在Rt△AB1B2中,,從而a2=b2+c2=20.即可得到橢圓的方程.(2)由(1)得B1(﹣2,0),可設(shè)直線l的方程為x=my﹣2,代入橢圓的方程,得到根與系數(shù)的關(guān)系,利用PB2⊥QB2,,向量坐標(biāo)化,得到關(guān)于m的方程,即可得到m.

(1)設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,右焦點(diǎn)為.

是直角三角形,又,為直角,因此,.

,故,所以離心率.

中,,故

由題設(shè)條件,得,從而.

因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

(2)由(1)知,由題意知直線的傾斜角不為0,故可設(shè)直線的方程為,代入橢圓方程得,

設(shè),則

,

,所以

,,,解得,

所以直線方程分別為.

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A. 向左平移個(gè)單位長度,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的,縱坐標(biāo)不變.

B. 向左平移個(gè)單位長度,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變.

C. 向左平移個(gè)單位長度,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的,縱坐標(biāo)不變.

D. 向左平移個(gè)單位長度,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變.

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