4.已知雙曲線C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1,若存在過右焦點(diǎn)F的直線與雙曲線C相交于A、B兩點(diǎn),且$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{BF}$,則雙曲線C的離心率的最小值為2.

分析 由題意,A在雙曲線的左支上,B在右支上,根據(jù)$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{BF}$,可得3x2-x1=2c,結(jié)合坐標(biāo)的范圍,即可求出雙曲線離心率的最小值.

解答 解:由題意,A在雙曲線的左支上,B在右支上,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),右焦點(diǎn)F(c,0),
∵$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{BF}$,∴c-x1=3(c-x2),
∴3x2-x1=2c.
∵x1≤-a,x2≥a,∴3x2-x1≥4a,
∴2c≥4a,∴e=$\frac{c}{a}$≥2,
∴雙曲線離心率的最小值為2,
故答案為:2.

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的幾何性質(zhì),考查直線與雙曲線的位置關(guān)系,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.

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