Question

4．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，若存在過右焦點F的直線與雙曲線C相交于A、B兩點，且$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{BF}$，則雙曲線C的離心率的最小值為2．

Answer 1

分析 由題意，A在雙曲線的左支上，B在右支上，根據(jù)$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{BF}$，可得3x₂-x₁=2c，結合坐標的范圍，即可求出雙曲線離心率的最小值．

解答 解：由題意，A在雙曲線的左支上，B在右支上，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），右焦點F（c，0），
∵$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{BF}$，∴c-x₁=3（c-x₂），
∴3x₂-x₁=2c．
∵x₁≤-a，x₂≥a，∴3x₂-x₁≥4a，
∴2c≥4a，∴e=$\frac{c}{a}$≥2，
∴雙曲線離心率的最小值為2，
故答案為：2．

點評 本題考查雙曲線的幾何性質，考查直線與雙曲線的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．