Question

1．設函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}-x+2}{{x}^{2}}$，若對x＞0恒有xf（x）+a＞0成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，1-2$\sqrt{2}$）
• B． （-∞，2$\sqrt{2}$-1）
• C． （2$\sqrt{2}$-1，+∞）
• D． （1-2$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 化簡可得xf（x）=x•$\frac{{x}^{2}-x+2}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-x+2}{x}$=x+$\frac{2}{x}$-1，從而利用基本不等式求最值，從而解決恒成立問題．

解答 解：∵f（x）=$\frac{{x}^{2}-x+2}{{x}^{2}}$，
∴當x＞0時，xf（x）=x•$\frac{{x}^{2}-x+2}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-x+2}{x}$=x+$\frac{2}{x}$-1≥2$\sqrt{2}$-1（當且僅當x=$\frac{2}{x}$，即x=$\sqrt{2}$時，等號成立），
∴2$\sqrt{2}$-1+a＞0，
∴a＞1-2$\sqrt{2}$，
故選：D．

點評 本題考查了函數(shù)的化簡與應用，同時考查了基本不等式在求最值的應用及恒成立問題．