Question

14．圓錐曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞0）．
（1）若曲線C是圓，且直線y=kx-2（k＞0）與該圓相切，求實數(shù)k；
（2）設a＞1，曲線C的一個焦點為F（c，0）（c＞0），它與y軸正半軸交于點B，過點B且垂直于BF的直線l與x軸相交于點D（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），與曲線C的另一個交點為E，求a以及線段BE的長．

Answer 1

分析 （1）由直線y=kx-2（k＞0）與該圓相切，可得d=$\frac{|2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，解方程可得k；
（2）由題意可得b=1，F(xiàn)（c，0），B（0，1），D（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），運用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，可得c，a，可得橢圓方程，聯(lián)立直線BE的方程，求得交點，由兩點的距離公式計算即可得到所求值．

解答 解：（1）若曲線C是圓，則a=1，
圓為x²+y²=1，
由直線y=kx-2（k＞0）與該圓相切，可得
d=$\frac{|2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，解得k=$\sqrt{3}$（負的舍去）；
（2）由題意可得b=1，F(xiàn)（c，0），B（0，1），D（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），
由BF⊥BD，可得k_BF•k_BD=-1，
即為$\frac{1}{-c}$•$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=-1，可得c=$\sqrt{3}$，
a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=2；
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，
直線BE的方程為y=$\sqrt{3}$x+1，
代入橢圓方程可得7x²+6$\sqrt{3}$x=0，
解得x=0或-$\frac{4\sqrt{3}}{7}$．
即有E（-$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，-$\frac{5}{7}$），
即有|BE|=$\sqrt{\frac{48}{49}+\frac{144}{49}}$=$\frac{8\sqrt{3}}{7}$．

點評 本題考查直線和圓相切的條件：d=r，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，求交點，同時考查兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，考查運算能力，屬于中檔題．