Question

2．已知函數(shù)f（x）=asinx-bcosx（a、b為常數(shù)，a≠0，x∈R）在x=$\frac{π}{4}$處取得最小值，則函數(shù)y=|f（$\frac{3π}{4}$-x）|是（　�。�

• A． 最大值為$\sqrt{2}$b且它的圖象關(guān)于點(diǎn)（π，0）對(duì)稱
• B． 最大值為$\sqrt{2}$a且它的圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{3π}{4}$，0）對(duì)稱
• C． 最大值為$\sqrt{2}$b且它的圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱
• D． 最大值為$\sqrt{2}$a且它的圖象關(guān)于直線x=$\frac{3π}{4}$對(duì)稱．

Answer 1

分析 由題意可得f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a-b）=-$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，可得b=-a＞0，代入化簡(jiǎn)y=|f（$\frac{3π}{4}$-x）|=|$\sqrt{2}$asin（$\frac{3π}{4}$-x+$\frac{π}{4}$）|=-$\sqrt{2}$asinx，可得三角函數(shù)的最值和對(duì)稱性．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=asinx-bcosx（a、b為常數(shù)，a≠0，x∈R）在x=$\frac{π}{4}$處取得最小值，
∴化簡(jiǎn)可得f（x）=asinx-bcosx=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（x-φ），其中tanφ=$\frac{a}$，
∴f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a-b）=-$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$＜0，
平方可得[$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a-b）]²=（-$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$）²=a²+b²，故b=-a＞0，
∴f（x）=asinx+acosx=$\sqrt{2}$asin（x+$\frac{π}{4}$）
∴y=|f（$\frac{3π}{4}$-x）|=|$\sqrt{2}$asin（$\frac{3π}{4}$-x+$\frac{π}{4}$）|=-$\sqrt{2}$asinx，
∴函數(shù)的最大值為-$\sqrt{2}$a=$\sqrt{2}$b，關(guān)于（π，0）對(duì)稱．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，涉及三角函數(shù)圖象的對(duì)稱性和最值，屬中檔題．