Question

12．某同學用五點法畫函數(shù)$f（x）=Asin（ωx+φ），（ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$在某一個周期內(nèi)的圖象時，列表并填入了部分數(shù)據(jù)，如表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x		$\frac{π}{3}$		$\frac{5π}{6}$
Asin（ωx+φ）	0	3		-3	0

（Ⅰ）請將表數(shù)據(jù)補充完整，并直接寫出函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）求f（x）在區(qū)間$[-\frac{π}{4}\;，\;\frac{π}{6}]$上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由表中數(shù)據(jù)列關于ω、φ的二元一次方程組，求得A、ω、φ的值，得到函數(shù)解析式，進一步完成數(shù)據(jù)補充．
（Ⅱ）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅲ）由x∈$[-\frac{π}{4}\;，\;\frac{π}{6}]$，可得2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，利用正弦函數(shù)的圖象即可求得f（x）在區(qū)間$[-\frac{π}{4}\;，\;\frac{π}{6}]$上的最小值為-3．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得A=3，ω=2，φ=-$\frac{π}{6}$，
數(shù)據(jù)補全如下表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$	$\frac{13π}{12}$
Asin（ωx+φ）	0	3	0	-3	0

函數(shù)表達式為f（x）=3sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
（Ⅱ）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．
（Ⅲ）∵x∈$[-\frac{π}{4}\;，\;\frac{π}{6}]$，
∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，
∴f（x）=3sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-3，$\frac{3}{2}$]．
∴當2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$，即x=-$\frac{π}{6}$時，f（x）在區(qū)間$[-\frac{π}{4}\;，\;\frac{π}{6}]$上的最小值為-3．

點評 本題考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解函數(shù)解析式，考查了y=Asin（ωx+φ）的性質(zhì)，是中檔題．